مقاييس النزعة المركزية (المتوسط الحسابي)

تعتبر مقاييس النزعة المركزية في الإحصاء هي عبارة عن مجموعة من المقاييس تصف نقطة تجمع المشاهدات، وقد تأسس هذا النوع من المقاييس على يد الباحث الإنجليزي فرانسيس جالتون، ومن أهم مقاييس النزعة المركزية المتوسط الحسابي والوسيط وكذلك المنوال.

المتوسط الحسابي:

أولاً : تعريف المتوسط الحسابي :

 يعتبر المتوسط الحسابي من أسهل المتوسطات وأكثرها استخداماً وذلك لسهولة حسابه, ويمكن تعريفه بأنه : القيمة التي لو استبدلنا بها كل مفردة من مفردات المجموعة لحصلنا علي مجموع جبري مساوي للمجموع الأصلي لمفردات المجموعة .

ثانياً: طرق حساب المتوسط الحسابي

1 – حساب المتوسط الحسابي لبيانات غير مبوبة لدرجات خام :

يتم حساب المتوسط الحسابي لعدة درجات عن طريق جمع هذه الدرجات وقسمتها علي عددها .

و بصوره رمزية :

المتوسط الحسابي  =   مجموع الدرجات/ عدد الدرجات

المتوسط الحسابي  =    مج س/ ن

 مثال :

أوجد المتوسط الحسابي لطالبة حصلت علي الدرجات التالية في خمسه اختبارات :

11 – 14 – 10 – 13 – 17

الحـــــــــــــــــــــــل

حيث أن : ن = 5

مجـــ س = 11 + 14 + 10 + 13 + 17 = 65

                           م = مج س/ ن   =   65/ 5   =  13

2 – حساب المتوسط الحسابي لتوزيعات تكرارية :

أ – حساب المتوسط الحسابي من توزيع تكراري بسيط :

يتحدد المتوسط الحسابي في هذه الحالة من القانون :

المتوسط الحسابي = مجموع حاصل ضرب كل درجة في تكرارها / مجموع التكرارات

وبصورة رمزية :

م = مج (س × ك) / مج (ك)

حيث :    م   = المتوسط الحسابي

           س = الدرجة 

ك  = التكرار

مثال :

أحسب المتوسط الحسابي لدرجات 35 طالبًا بكلية التربية في مادة الإحصاء ودرجاتهم موزعة كالآتي :

الدرجة	8	9	10	12	13	16	17	18
التكرار	1	3	8	5	7	6	2	3

الحــــــــــــــــل

ننشيء الجدول التالي لتسهيل استخدام القانون الخاص بهذه الحالة :

م = 12.86

ب – حساب المتوسط الحسابي من توزيع تكراري فئوي :

لحساب المتوسط الحسابي للتوزيع التكراري الفئوي نتبع الخطوات الآتية :

1. نوجد مراكز الفئات (س) ونختار متوسط فرضياً (أ) ويفضل أن يكون مركز الفئة المقابلة لأكبر تكرار .
2. نحسب الانحرافات لمراكز الفئات عن المتوسط الفرضي (ح) = س – أ.
3. نقسم الانحرافات ح علي طول الفئة لنحصل علي الانحراف المختصر حـــ حيــــث حـ الانحراف المختصر.
4. نضرب كل انحراف مختصر في التكرار المناظر له ونوجد المجموع وهو عبارة عن مجـــ (حـــ  ك)
5. نحسب المتوسط الحسابي من خلال القانون :

حيث :

•             أ  = المتوسط الفرضي
•      مجــ ك = مجموع التكرارات
•             ط  = طول الفئة
• مجــ حــ ك = مجموع حواصل ضرب الانحراف المختصر في التكرار المناظر له

مثال :

أوجد المتوسط الحسابي للتوزيع التكراري الفئوي التالي :

الفئات	2-	4-	6-	8ــ	10-	المجموع
الدرجة	10	15	30	25	20	100

الحــــــــــــــــــــل

لتسهيل عمليه التعويض في القانون الخاص بهذه الحالة ننشئ الجدول التالي :

 نلاحظ أنه تم احتساب المتوسط الفرضي   أ = 7

 م  =  7 + 30/100  × 2

 م  =  7 + 0.30   × 2

 م  =  7 + 0.60  = 7.60